🎓 Fisika Matematika · Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan Laplace
pada Silinder Semi-tak Hingga

Distribusi temperatur keadaan tunak dalam koordinat silinder — dari pemisahan variabel hingga fungsi Bessel

∇²u = 0  ⟶  u(r, z)
📋 Daftar Isi
🔥 01 Pendahuluan & Fisika Masalah

Bayangkan sebuah silinder logam dengan jari-jari $a$ yang berdiri tegak, memiliki tinggi tak terbatas ke atas (semi-tak hingga). Permukaan sisi samping silinder dijaga pada suhu nol, sedangkan dasar silinder (pada $z=0$) dipanaskan dengan profil suhu tertentu $f(r)$. Pertanyaannya: bagaimana distribusi temperatur di dalam silinder setelah mencapai keadaan tunak?

🌡️ Interpretasi Fisik
Keadaan tunak (steady-state) berarti distribusi temperatur tidak berubah terhadap waktu. Energi panas yang masuk dari bawah mengalir ke arah samping dan atas, menciptakan pola distribusi yang stabil.
u(r,0) = f(r) u=0 u=0 z r r=a u→0 saat z→∞
📐 Gambar 1. Silinder semi-tak hingga dengan kondisi batas. Panah kuning menunjukkan aliran panas dari dasar.
✅ Asumsi Model
  • Silinder memiliki simetri aksial (tidak bergantung pada sudut $\varphi$)
  • Tidak ada sumber panas internal
  • Kondisi batas: $u(a,z)=0$, $u(r,0)=f(r)$, $u(r,z)\to 0$ saat $z\to\infty$
  • Solusi terbatas di seluruh domain $0 \le r \le a$
📐 02 Persamaan Laplace dalam Koordinat Silinder

Karena masalah kita memiliki geometri silindris, kita gunakan koordinat silinder $(r, \varphi, z)$. Persamaan Laplace $\nabla^2 u = 0$ dalam koordinat ini adalah:

$$\nabla^2 u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$$
✅ Asumsi Simetri Aksial
Karena kondisi batas tidak bergantung pada sudut $\varphi$, solusi pun tidak bergantung pada $\varphi$. Maka: $$\frac{\partial u}{\partial \varphi} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} = 0$$

Persamaan Laplace menjadi lebih sederhana — hanya bergantung pada $r$ dan $z$:

$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$$

Ini adalah PDP orde dua linear homogen dalam dua variabel, yang siap diselesaikan dengan metode pemisahan variabel.

🌡️ Interpretasi Fisik
Persamaan ini menyatakan bahwa fluks panas neto pada setiap titik interior sama dengan nol — panas yang masuk sama dengan panas yang keluar (keseimbangan termal lokal).
✂️ 03 Pemisahan Variabel

Kita asumsikan solusi berbentuk perkalian dua fungsi satu variabel:

$$u(r, z) = R(r) \cdot Z(z)$$

Substitusikan ke persamaan Laplace:

$$\frac{Z}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dR}{dr}\right) + R\,Z'' = 0$$

Bagi kedua ruas dengan $RZ$:

$$\frac{1}{rR}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dR}{dr}\right) = -\frac{Z''}{Z} = \lambda^2$$
💡 Kunci Pemisahan Variabel
Ruas kiri hanya bergantung pada $r$, ruas kanan hanya bergantung pada $z$. Agar keduanya selalu sama, masing-masing harus konstan. Konstanta ini disebut konstanta pemisahan $\lambda^2$.

Ini menghasilkan dua ODE terpisah:

ODE — RADIAL
Persamaan Bessel:

$$\frac{d^2R}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{dR}{dr} + \lambda^2 R = 0$$

ODE — AKSIAL
Persamaan Eksponensial:

$$Z'' - \lambda^2 Z = 0$$

🌡️ Mengapa $\lambda^2$ (positif)?
Kondisi $u \to 0$ saat $z \to \infty$ mengharuskan $Z(z) = e^{-\lambda z}$ (bukan $e^{+\lambda z}$). Ini hanya mungkin jika konstanta pemisahan bernilai positif $\lambda^2 > 0$, sehingga $Z'' = \lambda^2 Z$ memiliki solusi eksponensial peluruhan.
🔄 04 Solusi Aksial & Peran Simetri

ODE aksial $Z'' = \lambda^2 Z$ memiliki solusi umum:

$$Z(z) = A\,e^{\lambda z} + B\,e^{-\lambda z}$$
✅ Syarat Batas: $u \to 0$ saat $z \to \infty$
Agar $u$ tidak meledak ke tak hingga, kita buang suku $e^{\lambda z}$ (dengan $A=0$). Tersisa: $$Z(z) = B\,e^{-\lambda z}, \quad \lambda > 0$$
💡 Mengapa hanya Mode $n=0$?
Dalam masalah dengan simetri penuh terhadap $\varphi$, kondisi batas tidak memiliki ketergantungan sudut. Jika kita membuka simetri ($u$ bergantung pada $\varphi$), solusinya akan melibatkan fungsi Bessel orde $n \geq 1$, yaitu $J_n(\lambda r)\cos(n\varphi)$ atau $J_n(\lambda r)\sin(n\varphi)$. Namun karena kondisi batas simetris secara azimuthal, hanya mode $n=0$ yang bertahan — semua mode dengan $n \geq 1$ berkontribusi nol.

Jadi, fungsi radial yang relevan adalah $J_0(\lambda r)$ — Fungsi Bessel orde nol jenis pertama.

📊 05 Persamaan Bessel & Fungsi $J_0$

ODE radial (dengan substitusi $x = \lambda r$) adalah persamaan Bessel orde nol:

$$\frac{d^2R}{dx^2} + \frac{1}{x}\frac{dR}{dx} + R = 0 \quad (x = \lambda r)$$

Solusi umumnya adalah $R = C_1 J_0(x) + C_2 Y_0(x)$, di mana $Y_0$ adalah fungsi Bessel orde nol jenis kedua (Neumann).

✅ Mengapa $Y_0$ dibuang?
$Y_0(x) \to -\infty$ saat $x \to 0$ (yaitu $r \to 0$, sumbu silinder). Karena solusi fisik harus terbatas pada sumbu, kita tetapkan $C_2 = 0$.

Fungsi $J_0(r)$ memiliki representasi deret:

$$J_0(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(m!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m} = 1 - \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{64} - \cdots$$
📊 Grafik Fungsi Bessel $J_0(x)$
Garis vertikal putus-putus oranye = nol pertama $\lambda_1 a \approx 2.405$, yang menentukan eigenvalue terkecil.

Syarat batas $u(a,z) = 0$ mensyaratkan $R(a) = 0$, yaitu:

$$J_0(\lambda_n a) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \lambda_n = \frac{\alpha_n}{a}$$

di mana $\alpha_n$ adalah nol-nol (akar) dari $J_0$:

$n$$\alpha_n$ (akar $J_0$)$\lambda_n = \alpha_n/a$Peran fisik
12.4048$2.4048/a$Mode dasar (paling lambat meluruh)
25.5201$5.5201/a$Harmonik pertama
38.6537$8.6537/a$Harmonik kedua
411.792$11.792/a$Harmonik ketiga
🌡️ Interpretasi Fisik Eigenvalue
Semakin besar $\lambda_n$, semakin cepat komponen ke-$n$ meluruh secara aksial (faktor $e^{-\lambda_n z}$). Mode pertama ($n=1$) mendominasi pada jarak besar dari dasar.
🧮 06 Penentuan Koefisien — Deret Fourier-Bessel

Solusi umum adalah superposisi semua mode:

$$u(r,z) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n\, J_0(\lambda_n r)\, e^{-\lambda_n z}$$

Terapkan kondisi batas di $z=0$: $u(r,0) = f(r)$:

$$f(r) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n\, J_0(\lambda_n r)$$

Ini adalah ekspansi Deret Fourier-Bessel. Untuk menentukan $A_n$, gunakan ortogonalitas fungsi Bessel:

$$\int_0^a r\,J_0(\lambda_m r)\,J_0(\lambda_n r)\,dr = \begin{cases} 0 & m \neq n \\ \dfrac{a^2}{2}\left[J_1(\lambda_n a)\right]^2 & m = n \end{cases}$$
💡 Ortogonalitas dengan Bobot $r$
Fungsi Bessel $J_0(\lambda_n r)$ adalah ortogonal terhadap bobot $r$ pada $[0,a]$. Ini analog dengan ortogonalitas fungsi sinus/kosinus pada deret Fourier biasa, tetapi dalam geometri silindris.

Kalikan kedua ruas dengan $r\,J_0(\lambda_m r)$ dan integrasikan dari $0$ ke $a$:

$$\boxed{A_n = \frac{2}{a^2\left[J_1(\lambda_n a)\right]^2}\int_0^a r\,f(r)\,J_0(\lambda_n r)\,dr}$$
🌡️ Kasus Khusus: $f(r) = T_0$ (suhu seragam)
Untuk $f(r) = T_0$ (konstan), integral menjadi: $$\int_0^a r\,T_0\,J_0(\lambda_n r)\,dr = \frac{T_0 a}{\lambda_n} J_1(\lambda_n a)$$ sehingga: $A_n = \dfrac{2T_0}{\lambda_n a\,J_1(\lambda_n a)}$
🏆 07 Solusi Akhir & Visualisasi Interaktif

Solusi lengkap persamaan Laplace pada silinder semi-tak hingga adalah:

$$\boxed{u(r,z) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n\, J_0\!\left(\frac{\alpha_n}{a}\,r\right) e^{-\alpha_n z/a}}$$

dengan $\alpha_n$ adalah nol ke-$n$ dari $J_0$, dan koefisien $A_n$ ditentukan dari kondisi $u(r,0) = f(r)$.

💡 Rangkuman Struktur Solusi
  • Arah radial: $J_0(\alpha_n r/a)$ — osilasi (seperti "gelombang" radial yang memudar di dinding)
  • Arah aksial: $e^{-\alpha_n z/a}$ — peluruhan eksponensial, semakin cepat untuk mode $n$ besar
  • Amplitudo: $A_n$ — ditentukan dari profil suhu dasar $f(r)$
📊 Profil Temperatur $u(r,z)$ — Slider $z$
Kasus: $f(r) = T_0 = 1$, $a = 1$. Geser slider untuk melihat profil $u(r, z)$ pada ketinggian $z$ berbeda.
Kurva teal = profil $u(r,z)$. Garis oranye putus-putus = kondisi batas $u(a,z)=0$ pada $r=a$.
🌡️ Peta Warna Distribusi $u(r,z)$
Visualisasi 2D dari distribusi temperatur. Merah = panas, biru = dingin.
Sumbu horizontal = $r$ (0 → $a$), sumbu vertikal = $z$ (0 di bawah → $z_{max}$ di atas).
🌡️ Kesimpulan Fisik

Panas dari dasar memancar ke atas dalam bentuk mode-mode Bessel. Mode pertama ($n=1$) meluruh paling lambat dan mendominasi distribusi pada jarak jauh dari dasar. Semakin jauh dari dasar, profil temperatur menjadi lebih "halus" dan berbentuk seperti $J_0$ murni.

Dibuat untuk pembelajaran Fisika Matematika  ·  Persamaan Laplace dalam Koordinat Silinder  ·  🔥 → 📐 → 📊

MathJax · Canvas API · Pure HTML/CSS/JS