📐 Pemisahan Variabel (Simetri Aksial)
\[
u(r,\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} A_l \left(\frac{r}{a}\right)^l P_l(\cos\theta)
\]
Solusi regular di pusat, \(P_l\) polinom Legendre. Kondisi batas pada \(r=a\):
\(u(a,\theta)=100^\circ\) untuk \(0\le\theta<\pi/2\), \(u(a,\theta)=0^\circ\) untuk \(\pi/2<\theta\le\pi\).
🧮 Koefisien Legendre
\[
A_l = \frac{2l+1}{2a^l} \int_0^\pi f(\theta) P_l(\cos\theta) \sin\theta d\theta
\]
Hanya \(l\) ganjil yang muncul (kecuali \(l=0\)):
\(A_0=\frac12\)
\(A_1=\frac{3}{4a}\)
\(A_3=-\frac{7}{16a^3}\)
\(A_5=\frac{11}{32a^5}\)
\(A_7=-\frac{75}{256a^7}\)
\(A_9=\frac{323}{1024a^9}\)
📌 Solusi Akhir (Deret Fourier-Legendre)
\[
u(r,\theta)=100\left[\frac12+\frac34\frac{r}{a}P_1(\cos\theta)-\frac7{16}\left(\frac{r}{a}\right)^3P_3(\cos\theta)+\frac{11}{32}\left(\frac{r}{a}\right)^5P_5(\cos\theta)-\cdots\right]
\]
✨ Ekuator (\(\theta=90^\circ\)) : \(P_l(0)=0\) untuk \(l\) ganjil ⇒ \(u=50^\circ C\) untuk semua \(r\).
🔵 Pusat bola (\(r=0\)) : \(u=50^\circ C\) (nilai rata-rata batas).
📈 Profil Sudut: Suhu Permukaan \(T(\theta)\) r = a
🔴 Kutub utara 100°C | 🔵 Kutub selatan 0°C | Konvergensi deret Legendre.
📉 Profil Radial: Suhu vs \(r/a\) pada θ tetap
Di pusat bola (\(r=0\)): \(u=50^\circ C\) (rata-rata batas). Faktor \((r/a)^l\) meredam kontribusi orde tinggi.
💡 Sifat Solusi
- Simetri aksial (tidak bergantung pada sudut azimut \(\phi\))
- Ekuator isotermal 50°C untuk seluruh jari-jari
- Deret hanya mengandung suku ganjil \(l=1,3,5,\dots\) karena antisimetri fungsi batas terhadap ekuator
- Konvergensi cepat: dengan \(l\le 9\) sudah sangat akurat
⚡ Suhu di titik kursor: -- °C
🖱️ Drag kiri: rotasi | Kanan: geser | Scroll: zoom | Arahkan kursor ke bola untuk lihat suhu